Lý thuyết về giới hạn của hàm số.

Giới hạn hữu hạn, giới hạn vô cực, các giới hạn đặc biệt.

Lý thuyết về giới hạn của hàm số.

Tóm tắt lý thuyết

1. Giới hạn hữu hạn

+) Cho khoảng K chứa điểm x₀ và hàm số y = f(x) xác định trên K hoặc trên K\{x₀}. 

\(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{lim}\)  f(x) = L khi và chỉ khi với dãy số (x_n) bất kì, x_n ∈ K \{x₀} và x_n → x_0, ta có
lim f(x_n) =L. 

+) Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (x₀; b).

\(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}^{+}}{lim}\) f(x) = L khi và chỉ khi dãy số (x_n) bất kì, x₀ < x_n < b và x_n → x₀ ,ta có lim f(x_n) = L.

+) Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; x₀).

\(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}^{-}}{lim}\) f(x) = L khi và chỉ khi với dãy số (x_n) bất kì, a < x_n < x₀ và x_n → x₀, ta có
lim f(x_n) = L.

+) Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; +∞).

\(\underset{x\rightarrow+\infty }{lim}\) f(x) = L khi và chỉ khi với dãy số (x_n ) bất kì, x_n  > a, x_n → +∞ thì lim f(x_n) = L.

+) Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (-∞; a).

\(\underset{x\rightarrow-\infty }{lim}\) f(x) = L khi và chỉ khi với dãy số (x_n ) bất kì, x_n  < a, x_n → -∞ thì lim f(x_n) = L.

2. Giới hạn vô cực

Sau đây là hai trong số nhiều loại giới hạn vô cực khác nhau:

+) Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; +∞), \(\underset{x\rightarrow+\infty }{lim}\) f(x) = -∞ khi và chỉ khi với dãy số (x_n) bất kì, x_n  > a, x_n → +∞ thì ta có lim f(x_n) = -∞

+) Cho khoảng K chứa điểm x₀ và hàm số y = f(x) xác định trên K hoặc trên K\{x₀}. 

\(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{lim}\) f(x) = +∞ và chỉ khi với dãy số (x_n) bất kì, x_n ∈ K \{x₀} và x_n → x₀ thì ta có 

lim f(x_n) = +∞.

Nhận xét: f(x) có giới hạn +∞ khi và chỉ khi -f(x) có giới hạn -∞.

3. Các giới hạn đặc biệt

a) \(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{lim}\) x = x₀;

b) \(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{lim}\) c = c;

c) \(\underset{x\rightarrow \pm \infty }{lim}\) c = c;

d) \(\underset{x\rightarrow \pm \infty }{lim}\) \(\frac{c}{x}\) = 0 (c là hằng số);

e) \(\underset{x\rightarrow+\infty }{lim}\) x^k = +∞, với k nguyên dương;

f) \(\underset{x\rightarrow-\infty }{lim}\) x^k = -∞, nếu k là số lẻ;

g)  \(\underset{x\rightarrow-\infty }{lim}\) x^k = +∞ , nếu k là số chẵn.

4. Định lí về giới hạn hữu hạn

Định lí 1. 

a) Nếu \(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{lim}\) = L và \(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{lim}\) g(x) = M thì:

• \(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{lim}\) [f(x) + g(x)] = L + M;
• \(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{lim}\) [f(x) - g(x) = L - M;
• \(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{lim}\) [f(x) . g(x)] = L.M;
• \(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{lim}\) \(\frac{f(x)}{g(x)}\)= \(\frac{L}{M}\) (nếu M ≠ 0).

b) Nếu f(x) ≥ 0 và \(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{lim}\) f(x) = L, thì L ≥ 0 và \(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{lim}\) √f(x) = √L

Chú ý: Định lí 1 vẫn đúng khi x → +∞ hoặc x → -∞.

Định lí 2.

\(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{lim}\) f(x) = L khi và chỉ khi \(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}^{+}}{lim}\) f(x) = \(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}^{-}}{lim}\) f(x) = L.

5. Quy tắc về giới hạn vô cực

a) Quy tắc giới hạn của tích f(x).g(x)

b) Quy tắc tìm giới hạn của thương \(\frac{f(x)}{g(x)}\)

(Dấu của g(x) xét trên một khoảng K nào đó đang tính giới hạn, với x ≠ x₀ ).