Câu 9 trang 143 SGK Đại số và giải tích 11

Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?

Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?

A. Một dãy số có giới hạn thì luôn luôn tăng hoặc luôn luôn giảm

B. Nếu (u_n) là dãy số tăng thì limu_n = + ∞

C. Nếu limu_n = + ∞ và  lim v_n = + ∞ thì lim (u_n – v_n) = 0

D. Nếu u_n = aⁿ và -1< a < 0 thì limu_n =0

Trả lời:

_ Câu A sai

“Một dãy số có giới hạn thì luôn luôn tăng hoặc luôn giảm” là mệnh đề sai.

Xét phần ví dụ sau:

Dãy số: \({u_n} = {{{{(1)}^n}} \over n}\)

Có \(\lim {{{{( - 1)}^n}} \over n} = 0\)

Ta có: \({u_1} =  - 1 < {u_2} = {1 \over 2},{u_2} = {1 \over 2} > {u_3} =  - {1 \over 3}\)

⇒   Không tăng cũng không giảm,

_ Câu B sai

“Nếu (u_n) là dãy số tăng thì lim(u_n) = + ∞” là mệnh đề sai, chẳng hạn:

Dãy số (u_n) với \({u_n} = n - {1 \over n}\)

Xét \({u_{n + 1}} - {u_n} = (1 - {1 \over {n + 1}}) - (1 - {1 \over n}) = {1 \over n} - {1 \over {n + 1}} = {1 \over {n(n + 1)}} > 0\)

⇒ (u_n) là dãy số tăng.

_ \({{\mathop{\rm limu}\nolimits} _n} = \lim (1 - {1 \over n}) = 1\)

_ Câu C sai, xem phần ví dụ sau:

Hai dãy số \({u_n} = {{{n^2}} \over {n + 2}},{v_n} = n + 1\)

+ \({{\mathop{\rm limu}\nolimits} _n} = \lim {{{n^2}} \over {n + 2}} = \lim {{{n^2}} \over {{n^2}({1 \over n} + {1 \over {{n^2}}})}} = \lim {1 \over {{1 \over n} + {2 \over {n2}}}} =  + \infty \)

+ \(\lim {v_n} = \lim (n + 1) =  + \infty \)

+ Nhưng :

\(\eqalign{
& \lim ({u_n} - {v_n}) = \lim \left[ {{{{n^2}} \over {n + 2}} - (n + 1)} \right] = \lim {{ - 3n - 2} \over {n + 2}} \cr
& = \lim {{n( - 3 - {2 \over n})} \over {n(1 + {2 \over n})}} = \lim {{ - 3 - {2 \over n}} \over {1 + {2 \over n}}} = - 3 \ne 0 \cr} \)

_Mệnh đề D đúng vì lim qⁿ = 0 khi |q| <1. Do đó: -1 < a < 0 thì lim aⁿ = 0

Vậy chọn D.