Đang tải thanh công cụ tìm kiếm ...
Phép Tính Online

Nêu rõ các bước chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học và cho ví dụ.

Nêu rõ các bước chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học và cho ví dụ.

Trả lời:

_ Các bước của phương pháp chứng minh quy nạp:

+ B1: Chứng minh bài toán đúng với n = 1

+ B2: Giả thuyết bài toán đúng với n = k  (gọi là giả thiết quy nạp)

+ B3. Chứng minh bài toán đúng với n = k + 1

Khi đó kết luận bài toán đúng với mọi n ∈ N*

_ Ví dụ: Chứng minh rằng: với mọi n ∈ N* ta có:

 \({1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {n^2} = {{n(n + 1)(2n + 1)} \over 6}(1)\)

Giải

_ Khi n = 1 thì (1) trở thành \({1^2} = {{1(1 + 1)(2 + 1)} \over 6}\) đúng.

_ Giả sử (1) đúng khi n = k, tức là:

 \({1^2} + {2^2} + {3^2} + .... + {k^2} = {{k(k + 1)(2k + 1)} \over 6}\)

_ Ta chứng minh (1) đúng khi n = k + 1, tức là phải chứng minh:

 \({1^2} + {2^2} + {3^2} + .... + {(k + 1)^2} = {{(k + 1)(k + 2)(2k + 3)} \over 6}\)

_ Thật vậy :

\(\eqalign{
& {1^2} + {2^2} + {3^2} + .... + {k^2} + {(k + 1)^2} \cr
& = {{k(k + 1)(2k + 1)} \over 6} + {(k + 1)^2} = {{(k + 1)k(2k + 1) + 6(k + 1)} \over 6} \cr
& = {{(k + 1)(2{k^2} + 7k + 6)} \over 6} = {{(k + 1)(k + 2)(2k + 3)} \over 6} \cr} \)

Vậy (1) đúng khi n = k + 1. Kết luận: (1) đúng với ∀n ∈ N*