Câu 8 trang 147 SGK Giải tích 12

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

a) f(x) = 2x³ – 3x² – 12x + 1 trên đoạn \(\left[ { - 2,{5 \over 2}} \right]\)

b)  f(x) = x² lnx trên đoạn \(\left[ {1,e} \right]\)

c) f(x) = xe^-x trên nửa khoảng [0, +∞)

d) f(x) = 2sinx + sin2x trên đoạn \(\left[ {0,{{3\pi } \over 2}} \right]\)

Trả lời:

a) f(x) = 2x³ – 3x² – 12x + 1 ⇒ f’(x) = 6x² – 6x – 12

f’(x) = 0 ⇔ x ∈ {-1, 2}

So sánh các giá trị: 

f(x) = -3; f(-1) = 8;

f(2) = -19, \(f({5 \over 2}) = {{ - 33} \over 2}\)

Suy ra:

\(\eqalign{
& \mathop {\max }\limits_{x \in \left[ { - 2,{5 \over 2}} \right]} f(x) = f( - 1) = 8 \cr
& \mathop {min}\limits_{x \in \left[ { - 2,{5 \over 2}} \right]} f(x) = f(2) = - 19 \cr} \)

b) f(x) = x² lnx ⇒ f’(x)= 2xlnx + x > 0, ∀ x ∈ [1, e] nên f(x) đồng biến.

Do đó:

\(\eqalign{
& \mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {1,e} \right]} f(x) = f(e) = {e^2} \cr
& \mathop {min}\limits_{x \in \left[ {1,e} \right]} f(x) = f(1) = 0 \cr} \)

 c) f(x) = f(x) = xe^-x ⇒ f’(x)= e^-x – xe^-x = (1 – x)e^-x nên:

f’(x) = 0 ⇔ x = 1, f’(x) > 0, ∀x ∈ (0, 1) và f’(x) < 0, ∀x ∈ (1, +∞)

nên:

 \(\mathop {\max }\limits_{x \in {\rm{[}}0, + \infty )} f(x) = f(1) = {1 \over e}\)

Ngoài ra f(x) = xe^-x > 0, ∀ x ∈ (0, +∞) và f(0) = 0 suy ra

 \(\mathop {\max }\limits_{x \in {\rm{[}}0, + \infty )} f(x) = f(0) = 0\)

d) f(x) = 2sinx + sin2x  ⇒ f’(x)= 2cosx + 2cos2x

f’(x) = 0 ⇔ cos 2x = -cosx ⇔ 2x = ± (π – x) + k2π

 ⇔ \(x \in \left\{ { - \pi  + k2\pi ;{\pi  \over 3} + {{k2\pi } \over 3}} \right\}\)

Trong khoảng \(\left[ {0,{{3\pi } \over 2}} \right]\) , phương trình f’(x) = 0 chỉ có hai nghiệm là \({x_1} = {\pi  \over 3};{x_2} = \pi \)

So sánh bốn giá trị : f(0) = 0; \(f({\pi  \over 3}) = {{3\sqrt 3 } \over 2};f(\pi ) = 0;f({{3\pi } \over 2}) =  - 2\)

Suy ra:

\(\eqalign{
& \mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {0,{{3\pi } \over 2}} \right]} f(x) = f({\pi \over 3}) = {{3\sqrt 3 } \over 2} \cr
& \mathop {min}\limits_{x \in \left[ {0,{{3\pi } \over 2}} \right]} f(x) = f({{3\pi } \over 2}) = - 2 \cr} \)