Đang tải thanh công cụ tìm kiếm ...
Phép Tính Online

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

Cho hàm số \(y = {2 \over {2 - x}}\)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

b) Tìm các giao điểm của (C) và đồ thị của hàm số y = x2 + 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại mỗi giao điểm.

c) Tính thể tích vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị (C) và các đường thẳng y = 0, x = 0, x = 1 xung quanh trục Ox.

Trả lời:

a) _ Tập xác định: (-∞, 2) ∪(2, +∞)

_ Sự biến thiên: \(y' = {2 \over {{{(2 - x)}^2}}} > 0,\forall x \in ( - \infty ,2) \cup (2, + \infty )\)

Nên hàm số đồng biến trên hai khoảng này.

_ Hàm số không có cực trị

_ Giới hạn tại vô cực và tiệm cận ngang

 \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {2 \over {2 - x}} = 0;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {2 \over {2 - x}} = 0\)

Nên y = 0 là tiệm cận ngang.

_ Giới hạn vô cực và tiệm cận đứng:

 \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} ({2 \over {2 - x}}) =  - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }}  = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} ({2 \over {2 - x}}) =  + \infty \)

Nên x = 2 là tiệm cận đứng.

_ Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số:

Đồ thị hàm số:

Đồ thị cắt trục tung tại y = 1, không cắt trục hoành.

b) Phương trình xác định hoành độ giao điểm:

\({2 \over {2 - x}} = {x^2} + 1 \Leftrightarrow {x^3} - 2{x^2} + x = 0 \Leftrightarrow x \in \left\{ {0,1} \right\}\)

Hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm M1 (0, 1), M2(1, 2)

Tiếp tuyến với đồ thị (C): \(y = {2 \over {2 - x}}\) tại điểm M1 có phương trình là: \(y = {1 \over 2}x + 1\)

Tiếp tuyến  tại điểm M2 có phương trình y = 2(x – 1) + 2 = 2x

c) Trong khoảng (0, 1) đồ thị (C) nằm phía trên trục hoành nên thể tích cần tính là :

 \(V = \pi \int_0^1 {({2 \over {2 - x}}} {)^2} = 2\pi \)