Đang tải thanh công cụ tìm kiếm ...
Phép Tính Online

Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABCD) và độ dài cạnh SC

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD cạnh a, góc BAD = 600 và \(SA = SB = SD = {{a\sqrt 3 } \over 2}\)

a) Tính khoảng cách từ S  đến mặt phẳng (ABCD) và độ dài cạnh SC

b) Chứng minh mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABCD)

c) Chứng minh SB vuông góc với BC

d) Gọi là góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD). Tính tan

Trả lời:

a) Kẻ SH⊥(ABCD)

Do SA = SB = SD suy ra HA = HB = HC

⇒ H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD.

Do AB = AD = a và góc BAD = 600 nên tam giác ABD là tam giác đều cạnh a,

Ta có: 

\(\eqalign{
& AO = {{a\sqrt 3 } \over 2} \cr
& AH = {2 \over 3}AO \Rightarrow AH = {{a\sqrt 3 } \over 3} \cr} \)

 Trong tam giác vuông SAH, ta có: \(SA = {{a\sqrt 3 } \over 2};AH = {{a\sqrt 3 } \over 3}\)

Tính ra: \(SH = {{a\sqrt {15} } \over 6}\)

Ta cũng có: \(HC = {{2a\sqrt 3 } \over 3}\)

Trong tam giác vuông SHC:

SC2 = SH2 + HC2        

Do đó ta tính được:

 \(SC = {{a\sqrt 7 } \over 2}\)

 

b) 

\(\left. \matrix{
SH \bot (ABCD) \hfill \cr
SH \subset (SAC) \hfill \cr} \right\} \Rightarrow (SAC) \bot (ABCD)\)

c) Ta có:

\(\eqalign{
& S{C^2} = {{7{a^2}} \over 4}(1) \cr
& B{C^2} = {a^2}(2) \cr
& S{B^2} = {{3{a^2}} \over 4}(3) \cr} \)

Từ (1), (2) và (3) ta có: SC2 = BC2 + SB2

Theo định lí đảo Pitago, tam giác SBC vuông tại B

d) Ta có:

\(\eqalign{
& \left. \matrix{
DB \bot AC \hfill \cr
SH \bot (ABCD) \Rightarrow SH \bot DB \hfill \cr} \right\} \Rightarrow DB \bot (SAC) \cr
& \Rightarrow \left\{ \matrix{
DB \bot {\rm{OS}} \hfill \cr
{\rm{DO}} \bot OA \hfill \cr} \right. \cr} \)

Suy ra: góc SOH là góc giữa hai mp(SBD) và (ABCD)

Ta có:

\(\eqalign{
& \angle SOH = \varphi \cr
& \tan \varphi = {{SH} \over {OH}} \Rightarrow \tan \varphi = \sqrt 5 \cr} \)