Đang tải thanh công cụ tìm kiếm ...
Phép Tính Online

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a.

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’  cạnh a.

a) Chứng minh BC’ vuông góc với mặt phẳng (A’B’C’D)

b) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của AB’ và BC’

Trả lời:

 

a) Ta có tứ giác BCCB’ là hình vuông nên

BC’ ⊥ B’C         (1)

Mặt khác A’B’ ⊥ (BCC’B’)

⇒ A’B’ ⊥ BC’            (2)

Từ (1) và (2) suy ra: BC’⊥ (A’B’C’D)

b) Do AD’ và BC’ nên mặt phẳng (AB’D’) là mặt phẳng chứa AB’ và song song với BC’.

Ta tìm hình chiếu của BC’ trên mp (AB’D’)

Gọi E, F là tâm của các mặt bên ADDA’ và BCCB’

Từ F kẻ FI ⊥ B’E. Ta có BC’ //AD mà BC’ ⊥ (A’B’CD)

⇒ AD’ ⊥ (A’B’C’D) và IF ⊂(A’B’C’D)

AD’ ⊥ IF (3)

EB’⊥IF   (4)

Từ (3) và (4) suy ra : IF ⊥ (AB’D’)

Vậy I là hình chiếu của F trên mp (AB’D’). Qua I ta dựng đường thẳng song song với BC’ thì đường thẳng này chính là hình chiếu của BC’ trên mp (AB’D’)

Đường thẳng qua I song song với BC’ cắt AB’ tại K. Qua K kẻ đường thẳng song song với IF, đường này cắt BC’ tại H. KH chính là đường vuông góc chung của AB’ VÀ BC’. Thật vậy:

\({\rm{IF}} \bot (AB'D')\)

=> IF ⊥ AB' và KH ⊥ IF suy ra KH ⊥ AB'

\(\left. \matrix{
BC' \bot (A'B'CD) \hfill \cr
{\rm{IF}} \subset {\rm{(A'B'CD)}} \hfill \cr} \right\} \Rightarrow \left. \matrix{
{\rm{IF}} \bot {\rm{BC'}} \hfill \cr
{\rm{KH//IF}} \hfill \cr} \right\} \Rightarrow KH \bot BC'\)

 Tam giác EFB’ vuông góc tại F, FI là đường cao thuộc cạnh huyền nên

\({1 \over {I{F^2}}} = {1 \over {FB{'^2}}} + {1 \over {F{E^2}}}\) với 

\(\left\{ \matrix{
FB' = {{a\sqrt 2 } \over 2} \hfill \cr
{\rm{EF = a}} \hfill \cr} \right.\)

Ta tính ra: \({\rm{IF}} = {{a\sqrt 3 } \over 3} \Rightarrow KH = {\rm{IF = }}{{a\sqrt 3 } \over 3}\)