Đang tải thanh công cụ tìm kiếm ...
Phép Tính Online

Chứng minh rẳng trong mọi tam giác ABC ta đều có:

Chứng minh rẳng trong mọi tam giác ABC ta đều có:

a) a = b cosc + c cosB

b) sinA = sinB.sinC + sinC.cosB

c) ha = 2R.sinBsinC

Trả lời:

 

a) Trong tam giác ABC, theo định lí cosin ta có:

\(\left\{ \matrix{
\cos C = {{{a^2} + {b^2} - {c^2}} \over {2ab}} \hfill \cr
\cos B = {{{a^2} + {c^2} - {b^2}} \over {2ac}} \hfill \cr} \right.\) 

Ta có:

\(\eqalign{
& b\cos C + c\cos B = b({{{a^2} + {b^2} - {c^2}} \over {2ab}}) + c({{{a^2} + {c^2} - {b^2}} \over {2ac}}) \cr
& = {{2{a^2} + {b^2} - {c^2} + {c^2} - {b^2}} \over {2a}} \cr} \)

Vậy a = b cosc + c cosB

b) Trong tam giác ABC , theo định lí sin:

\(\eqalign{
& {a \over {\sin A}} = {b \over {{\mathop{\rm sinB}\nolimits} }} = {c \over {\sin C}} = 2R \cr
& \Rightarrow \sin A = {a \over {2R}},\sin B = {b \over {2R}},\sin C = {c \over {2R}} \cr} \)

 Ta có: 

\(\eqalign{
& \sin B\cos C + \sin C\cos B \cr
& = {b \over {2R}}.{{{a^2} + {b^2} - {c^2}} \over {2ab}} + {c \over {2R}}.{{{a^2} + {c^2} - {b^2}} \over {2ac}} \cr
& = {a \over {2R}} = \sin A \cr} \)

c) Ta lại có: \(a.{h_a} = 2S \Rightarrow {h_a} = {{2S} \over a}\)

mà \(S = {{abc} \over {4R}} \Rightarrow {h_a} = {{2bc} \over {4R}} = {{bc} \over {2R}}(2)\)

Thế b = 2RsinB, c = 2Rsin C vào (2) ta được:

\({h_a} = {{2R{\mathop{\rm sinB}\nolimits} .2RsinC} \over {2R}} \Rightarrow {h_a} = 2R\sin B\sin C\)