Câu 5 trang 121 SGK Hình học 11

Tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ADC nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Tam giác ABC vuông tại A có AB = a, AC = b. Tam giác ADC vuông tại D có CD = a.

Tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ADC nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Tam giác ABC vuông tại A có AB = a, AC = b. Tam giác ADC vuông tại D có CD = a.

a) Chứng minh các tam giác BAD và BDC đều là tam giác vuông

b) Gọi I và K lần lượt là trung điểm của AD và BC. Chứng minh IK là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng AD và BC.

Trả lời:

'

a) (ABC) ⊥ (ADC) mà hai mặt phẳng này giao nhau theo giao tuyến AC.

Ta lại có BA ⊂ (ABC) và BA⊥ AC nên BA⊥(ADC)

BA⊥(ADC) ⇒ BA⊥AD ⇒ ΔBAD vuông tại A

\(\left. \matrix{
BA \bot (ADC) \hfill \cr
AD \bot DC \hfill \cr} \right\} \Rightarrow BD \bot DC\)

 (Định lí 3 đường vuông góc)

⇒ ΔBDC vuông góc tại D

b) Gọi J là trung điểm của AC

Ta có KJ//BA

Mà BA⊥(ADC) ⇒ KJ ⊥(ADC)

                             ⇒ KJ ⊥ AD              (1)

Ta cũng có IJ//DC ⇒ IJ ⊥ AD              (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AD⊥(KIJ)

                           ⇒ AD ⊥ IK

Ta lại có: ΔBAI = ΔCDI  ⇒ IB = IC

⇒ ΔBIC cân đỉnh I ⇒ IK ⊥ BC (4)

Từ (3) và (4) suy ra đpcm.