Câu 10 trang 120 SGK Hình học 11

Chứng minh rằng tập hợp các điểm cách đều ba đỉnh của một tam giác ABC là đường vuông góc với mặt phẳng (ABC) và đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Chứng minh rằng tập hợp các điểm cách đều ba đỉnh của một tam giác ABC là đường vuông góc với mặt phẳng (ABC) và đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Trả lời:

Lấy một điểm M bất kì trong không gian sao cho MA  = MB = MC. Từ M kẻ MO vuông góc với (ABC). Các tam giác vuông MOA, MOB, MOC bằng nhau, cho ta OA = OB = OC.

Suy ra O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Vậy các điểm M các đều ba đỉnh của tam giác ABC nằm trên đường thẳng d đi qua tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Ngược lại, lấy một điểm M’ ∈ D, nối M’A, M’B, M’C,

Do M’O chung và OA = OB = OC nên các tam giác vuông M’OA, M’OB, M’OC  bằng nhau, cho ta M’A = M’B = M’C,

Tức là điểm M’ cách đều ba đỉnh A, B, C của tam giác ABC.

Kết luận: Tập hợp các điểm cách đều ba đỉnh của tam giác ABC là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) và đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.