Đang tải thanh công cụ tìm kiếm ...
Phép Tính Online

Cho a>0, b>0. Chứng minh rằng:

Cho a>0, b>0. Chứng minh rằng: \({a \over {\sqrt b }} + {b \over {\sqrt a }} \ge \sqrt a  + \sqrt b \)

Trả lời:

Đặt x=√a, y = √b ta có x>0 và y>0

 \({a \over {\sqrt b }} = {{{x^2}} \over y};{b \over {\sqrt a }} = {{{y^2}} \over x}\)

Suy ra: \({a \over {\sqrt b }} + {b \over {\sqrt a }} = {{{x^2}} \over y} + {{{y^2}} \over x} = {{{x^3} + {y^3}} \over {xy}} = {{(x + y)({x^2} + {y^2} - xy)} \over {xy}}\) (1)

Mà x2 + y2 ≥ 2xy (Bất đẳng thức Cô-si)

Nên x2 + y2 – xy ≥ xy ⇔ \({{{x^2} + {y^2} - xy} \over {xy}} \ge 1\)

Do đó (1) \({{{x^3} + {y^3}} \over {xy}}\)⇔ ≥ xy ⇔ \({{{x^2}} \over y} + {{{y^2}} \over x} \ge x + y\)

⇔ \({a \over {\sqrt b }} + {b \over {\sqrt a }} \ge \sqrt a  + \sqrt b \)