Câu 1 trang 25 sgk hình học 12

Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a.

Câu 1. Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a.

Hướng dẫn giải: (Hình 17)

Cho tứ diện đều ABCD. Hạ đường cao AH của tứ diện thì do các đường xiên AB, AC, AD bằng nhau nên các hình chiếu của chúng: HB, HC, HD bằng nhau. Do BCD là tam giác đều nên H là trọng tâm của tam giác BCD.

Do đó BH = \(BH = {2 \over 3}.{{\sqrt 3 } \over 2}a = {{\sqrt 3 } \over 3}a\)

Từ đó suy ra AH² = a² – BH² =\({{6{a^2}} \over 9}\)

Nên AH = \({{\sqrt 6 } \over 3}a\)

Thể tích tứ diện đó V=\({1 \over 3} \cdot {1 \over 2} \cdot {{\sqrt 3 } \over 2}{a^2} \cdot {{\sqrt 6 } \over 3}a = {a^3}{{\sqrt 2 } \over {12}}.\)