Bài tập 9 - Trang 91 - SGK Hình học 12

Chứng minh 2 đường thẳng d và d' chéo nhau.

9. Cho hai đường thẳng:

     d: \(\left\{\begin{matrix} x=1-t & \\ y=2+2t & \\ z=3t& \end{matrix}\right.\)                 và                  d': \(\left\{\begin{matrix} x=1+t' & \\ y=3-2t' & \\ z=1& \end{matrix}\right.\).

Chứng minh d và d' chéo nhau.

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng d qua điểm M(1 ; 2 ; 0) và có vec tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}\)(-1 ; 2 ; 3).

Đường thẳng d' qua điểm M'(1 ; 3 ;1) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u'}\)(1 ; -2 ; 0).

Cách 1. Xét \(\left [\overrightarrow{u},\overrightarrow{u'} \right ]=\left (\begin{vmatrix} 3 & 1\\ -2&0 \end{vmatrix};\begin{vmatrix} 1 &1 \\ 0&1 \end{vmatrix};\begin{vmatrix} 1 & 3\\ 1& 2 \end{vmatrix} \right )\)

                                    = (2 ; 1 ;-5).

                     \(\overrightarrow{MM'}\) = (0 ; 1 ; 1).

Ta có : \(\left [\overrightarrow{u},\overrightarrow{u'} \right ].\overrightarrow{MM'}\) = 2.0 + 1.1 + (-5).1 = -4 ≠ 0.

Do đó d và d' chéo nhau.

Cách 2: Vì \(\overrightarrow{u}\) và \(\overrightarrow{u'}\) không cùng phương nên d và d' chỉ có thể là chéo nhau hoặc cắt nhau.

Ta xét giao điểm của d và d':

\(\left\{\begin{matrix} 1-t=1+t' & \\ 2+2t=3-2t'& \\ 3t=1& \end{matrix}\right.\)      => \(\left\{\begin{matrix} t+t'=0 & \\ 2t+2t'=1 & \\ 3t=1& \end{matrix}\right.\)  hệ vô nghiệm.

Do đó d và d' không thể cắt nhau. Vì vậy d và d' chéo nhau.