Bài tập 4 - Trang 80 - SGK Hình học 12

Lập phương trình mặt phẳng.

4. Lập phương trình mặt phẳng :

a) Chứa trục Ox và điểm P(4 ; -1 ; 2);

b) Chứa trục Oy và điểm Q(1 ; 4 ;-3);

c) Chứa trục Oz và điểm R(3 ; -4 ; 7);

Hướng dẫn giải:

a) Gọi (α) là mặt phẳng qua P và chứa trục Ox, thì (α) qua điểm O(0 ; 0 ; 0) và chứa giá của các vectơ \(\overrightarrow{OP}\) (4 ; -1 ; 2)  và \(\overrightarrow{i}\)( 1 ; 0 ;0). Khi đó \(\overrightarrow{n}=\left [\overrightarrow{OP},\overrightarrow{i} \right ]\) =(0 ; 2 ; 1) là vectơ pháp tuyến của (α).

Phương trình mặt phẳng (α) có dạng: 2y + z = 0.

Chú ý : Ta cũng có thể giải như sau:

Phương trình mặt phẳng (α) cần tìm có dạng tổng quát : Ax + By + Cz + D = 0.

Do O(0 ; 0 ; 0) ∈  (α) nên D = 0.

Lấy điểm E(1 ; 0 ; 0) trên trục Ox, thì E ∈  (α) , thay tọa độ của E vào phương trình (α) ta có A = 0.

Vậy phương trình mặt phẳng (α) cần tìm có dạng :  By + Cz = 0

Vì P(4 ; -1 ; 2) ∈  (α) nên ta có  -B  + 2C = 0 hay B = 2C.

Do A, B, C có thể chọn sai khác một hằng số khác không, lấy C = 1.

Ta có phương trình mặt phẳng (α): 2y + z = 0.

b) Tương tự phần a) mặt phẳng (β) qua điểm Q(1 ; 4 ; -3) và chứa trục Oy thì (β) qua điểm O( 0 ; 0 ; 0) có \(\overrightarrow{OQ}\) (1 ; 4 ; -3) và \(\overrightarrow{j}\)(0 ; 1 ; 0) là cặp vectơ chỉ phương.

Phương trình mặt phẳng (β) có dạng : 3x + z = 0.

c) Mặt phẳng (ɣ) qua điểm R(3 ; -4 ; 7) và chứa trục Oz chứa giá của các vectơ

 \(\overrightarrow{OR}\) (3 ; -4 ; 7) và \(\overrightarrow{k}\)(0 ; 0 ; 1) nhận 2 vectơ này làm vectơ chỉ phương.

Phương trình mặt phẳng (ɣ) có dạng :4x + 3y = 0.