Bài tập 3 - Trang 101- SGK Giải tích 12

3. Sử dụng phương pháp biến số, hãy tính:

3. Sử dụng phương pháp biến số, hãy tính:

a)  ∫(1-x)⁹dx   (đặt u =1-x ) ;

b)  ∫x(1+x²)^3/2 dx (đặt u = 1 +  x² )

c)  ∫cos³xsinxdx   (đặt t = cosx)

d)  \(\int \frac{dx}{e^{x}+e^{-x}+2}\)    (đặt u= e^x +1)

Hướng dẫn giải:

a) Cách 1: Đặ u = 1 - x => du= -dx. Khi đó ta được  \(-\int u^{9}du = -\frac{1}{10}u^{10}+C\)

Suy ra \(\int(1-x)^{9}dx=-\frac{(1-x)^{10}}{10}+C\)

Cách 2: ∫(1-x)⁹dx =-∫(1-x)⁹ d(1-x) =  \(-\frac{(1-x)^{10}}{10} +C\)

b) Cách 1 : Tương tự cách 1 phần a.

Cách 2:  \(\int x(1+x^{2})^{\frac{3}{2}}dx\) = \(\frac{1}{2}\int (1+x^{2})^{\frac{3}{2}}d(1+x^2{})\)

                                          = \(\frac{1}{2}.\frac{2}{5}(1+x^{2})^{\frac{5}{2}}+C\) = \(\frac{1}{5}.(1+x^{2})^{\frac{5}{2}}+C\)

c)∫cos³xsinxdx = -∫cos³xd(cosx)

 = -\(\frac{1}{4}.cos^{4}x + C\)

d)  \(\int \frac{dx}{e^{x}+e^{-x}+2}\) =  \(\int \frac{e^{x}}{e^{2x}+2e^{x}+1}dx\)=  \(\int \frac{d(e^{x}+1)}{(e^{x}+1)^{2}}dx\)

     =\(\frac{-1}{e^{x}+1} + C\)