Xem thêm: Nguyên hàm
3. Sử dụng phương pháp biến số, hãy tính:
a) ∫(1-x)9dx (đặt u =1-x ) ;
b) ∫x(1+x2)3/2 dx (đặt u = 1 + x2 )
c) ∫cos3xsinxdx (đặt t = cosx)
d) \(\int \frac{dx}{e^{x}+e^{-x}+2}\) (đặt u= ex +1)
Hướng dẫn giải:
a) Cách 1: Đặ u = 1 - x => du= -dx. Khi đó ta được \(-\int u^{9}du = -\frac{1}{10}u^{10}+C\)
Suy ra \(\int(1-x)^{9}dx=-\frac{(1-x)^{10}}{10}+C\)
Cách 2: ∫(1-x)9dx =-∫(1-x)9 d(1-x) = \(-\frac{(1-x)^{10}}{10} +C\)
b) Cách 1 : Tương tự cách 1 phần a.
Cách 2: \(\int x(1+x^{2})^{\frac{3}{2}}dx\) = \(\frac{1}{2}\int (1+x^{2})^{\frac{3}{2}}d(1+x^2{})\)
= \(\frac{1}{2}.\frac{2}{5}(1+x^{2})^{\frac{5}{2}}+C\) = \(\frac{1}{5}.(1+x^{2})^{\frac{5}{2}}+C\)
c)∫cos3xsinxdx = -∫cos3xd(cosx)
= -\(\frac{1}{4}.cos^{4}x + C\)
d) \(\int \frac{dx}{e^{x}+e^{-x}+2}\) = \(\int \frac{e^{x}}{e^{2x}+2e^{x}+1}dx\)= \(\int \frac{d(e^{x}+1)}{(e^{x}+1)^{2}}dx\)
=\(\frac{-1}{e^{x}+1} + C\)