Đang tải thanh công cụ tìm kiếm ...
Phép Tính Online

10. Giải các bài toán sau đây bằng phương pháp tọa độ.

10. Giải các bài toán sau đây bằng phương pháp tọa độ.

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh bằng 1.

a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (AB'D') và (BC'D) song song với nhau.

b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng nói trên.

Hướng dẫn giải.

Xét hệ trục tọa độ Oxyz trong không gian sao cho A(0 ; 0 ; 0), B(1 ; 0 ; 0), D(0 ; 1 ; 0),

A'(0 ; 0 ; 1). Khi đó B'(1 ; 0 ; 1), D'(0 ; 1 ; 1), C'(1 ; 1 ; 1).

a) Mặt phẳng (AB'D') qua điểm A và nhận vevtơ  \(\overrightarrow{n}=\left [\overrightarrow{AB'},\overrightarrow{AD'} \right ]\)  làm vectơ pháp tuyến. Ta có \(\overrightarrow{AB'}\) = (1 ; 0 ; 1), \(\overrightarrow{AD'}\) = (0 ; 1 ; 1)  và \(\overrightarrow{n}\) = (-1 ; -1 ; 1).

Phương trình mặt phẳng (AB'D') có dạng:

                                        x + y - z = 0.                                               (1)

Tương tự, mặt phẳng (BC'D) qua điểm B nhận vectơ \(\overrightarrow{m}=\left [\overrightarrow{BD},\overrightarrow{BC'} \right ]\) làm vectơ pháp tuyến.

Ta có \(\overrightarrow{BD}\) = (-1 ; 1 ; 0), \(\overrightarrow{BC'}\) = (0 ; 1 ; 1) và \(\overrightarrow{m}\) = (1 ; 1 ; -1).

Phương trình mặt phẳng (BC'D) có dạng:

                                      x + y - z - 1 = 0.                                           (2)

So sánh hai phương trình  (1) và (2), ta thấy hai mặt phẳng (AB'D') và (BC'D) song song với nhau.

Chú ý : Bài này có thể làm không cần phương pháp tọa độ như sau:

Xét hai mặt phẳng (AB'D') và (BC'D), ta có BD // B'D' vì BB'D'D là hình chữ nhật, AD' // BC' vì ABC'D' là hình chữ nhật.

Do đó mặt phẳng (AB'D') có hai đường thẳng cắt nhau B'D' và AD' lần lượt song song với hai đường thẳng cắt nhau BD và BC' của mặt phẳng (BC'D). Vì vậy (AB'D') // (BC'D) (hình 56).

b) Vì (AB'D') // (BC'D) nên khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BC'D) chính là khoảng cách giữa hai mặt phẳng. Ta có:

             \(h=d(A,(BC'D))=\frac{|-1|}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\).