Bài 9 trang 100 SGK Hình học 12

Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A(2 ; 4 ; -1), B(1 ; 4 ; -1), C(2 ; 4; 3), D(2 ; 2 ; -1). a) Chứng minh rằng các đường thẳng AB, AC, AD vuông góc với nhau từng đôi một. Tính thể tích khối tứ diện ABCD.

Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A(2 ; 4 ; -1), B(1 ; 4 ; -1), C(2 ; 4; 3), D(2 ; 2 ; -1).

a) Chứng minh rằng các đường thẳng AB, AC, AD vuông góc với nhau từng đôi một. Tính thể tích khối tứ diện ABCD.

b) Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A, B, C, D.

c) Viết phương trình mặt phẳng (α) tiếp xúc với mặt cầu (S) và song song với mặt phẳng (ABD).

Giải

a) Ta xét các tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \); \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} \); \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} \)

Ta có: \(\overrightarrow {AB} \)= (-1; 0; 0), \(\overrightarrow {AC} \)= (0; 0; 4), \(\overrightarrow {AD} \)= (0; 2; 0)

\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \)= (-1).0 + 0.0 + 0.4 = 0\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AB}  \bot \overrightarrow {AC} \)

Các trường hợp còn lại chứng minh tương tự.

Ta có: V_ABCD =\({1 \over 3}.{1 \over 2}.AB.AC.AD\)

Ta tính được: AB = 1; AC = 4; AD = 2

\( \Rightarrow {V_{ABCD}} = {1 \over 6}.1.4.2 = {4 \over 3}\)(đtdt)

b) Gọi I(a; b; c) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

IA = IB = IC  \( \Rightarrow \)I nằm trên trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD. Tam giác ACD vuông tại đỉnh A nên trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD là đường thẳng vuông góc với mp (ACD) và đi qua trung điểm M của cạnh huyền CD.

Như vậy MI // AB                       (1)

Ta lại có IA = IB. Gọi P là trung điểm của AB, ta có:

MI = AP = \({1 \over 2}AB\)                        (2)

Từ (1) và (2), suy ra \(\overrightarrow {MI}  = {1 \over 2}\overrightarrow {AB} \)

Với C (2; 4; 3), A (2; 4; -1) \( \Rightarrow \)M (2; 3; 1)

\(\overrightarrow {MI} \) = (a - 2; b - 3; c - 1); \(\overrightarrow {AB} \) = (-1; 0; 0) 

\(\left\{ \matrix{
a - 2 = {1 \over 2}( - 1) \Rightarrow a = {3 \over 2} \hfill \cr
b - 3 = {1 \over 2}.0 \Rightarrow b = 3 \hfill \cr
c - 1 = {1 \over 2}.0 \Rightarrow c = 1 \hfill \cr} \right.\)

Tâm I của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là I\(\left( {{3 \over 2};3;1} \right)\)

Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là r thì:

r² = IA² =\({\left( {2 - {3 \over 2}} \right)^2} + {(4 - 3)^2} + {( - 1 - 1)^2} = {{21} \over 4}\)

Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD:

\({\left( {x - {3 \over 2}} \right)^2} + {(y - 3)^2} + {(z - 1)^2} = {{21} \over 4}\)

c) Ta cũng có AC ⊥ (ABD). Mặt phẳng (α) song song với mặt phẳng (ABD) nên nhận \(\overrightarrow {AC} \) làm vectơ pháp tuyến.

Ta có \(\overrightarrow {AC} \) = (0; 0; 4) nên phương trình mặt phẳng (α) có dạng z + D = 0.

Khoảng cách từ tâm I của mặt cầu đến mặt phẳng (α) là:

d(I,(α)) =\({{\left| {1 + D} \right|} \over 1} = \left| {1 + D} \right|\)

Để mặt phẳng (α) tiếp xúc với mặt cầu, ta cần có:

d(I,(α)) = r\( \Rightarrow \left| {1 + D} \right| = {{\sqrt {21} } \over 2}\)

Ta có hai mặt phẳng: (1)   1 + D =\({{\sqrt {21} } \over 2} \Rightarrow D = {{\sqrt {21} } \over 2} - 1\)

                                              \(\left( {{\alpha _1}} \right):z + {{\sqrt {21} } \over 2} - 1 = 0\)

                                 (2)  1 + D =\( - {{\sqrt {21} } \over 2} \Rightarrow D =  - {{\sqrt {21} } \over 2} - 1\)

                                               \(\left( {{\alpha _2}} \right):z - {{\sqrt {21} } \over 2} - 1 = 0\)