Đang tải thanh công cụ tìm kiếm ...
Phép Tính Online

Trong không gian Oxyz cho các điểm A(1; 0 ; -1), B(3 ; 4 ; -2), C(4 ; -1; 1), D(3 ; 0 ;3). a) Chứng minh rằng A, B, C, D không đồng phẳng.

Trong không gian Oxyz cho các điểm A(1; 0 ; -1), B(3 ; 4 ; -2), C(4 ; -1; 1), D(3 ; 0 ;3).

a) Chứng minh rằng A, B, C, D không đồng phẳng.

b) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) và tính khoảng cách từ D đến (ABC).

c) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

d) Tính thể tích tứ diện ABCD.

Giải

a) Ta có: \(\overrightarrow {AB} \)= (2; 4; 3).

Phương trình tham số của đường thẳng AB: 

\(\left\{ \matrix{
x = 1 + 2t \hfill \cr
y = 4t \hfill \cr
z = - 1 + 3t \hfill \cr} \right.\)

\(\overrightarrow {CD} \)= (-1; 1; 2). Phương trình tham số của CD:

\(\left\{ \matrix{
x = 4 - k \hfill \cr
y = - 1 + k \hfill \cr
z = 1 + 2k \hfill \cr} \right.\)

Do \(\overrightarrow {AB}  \ne k\overrightarrow {CD} \) nên hai đường thẳng AB, CD không cùng phương, chúng cắt nhau hoặc chéo nhau.

Xét hệ:

\(\left\{ \matrix{
1 + 3t = 4 - t'(1) \hfill \cr
4t = - 1 + t'(2) \hfill \cr
- 1 + 3t = 1 + 2t'(3) \hfill \cr} \right.\)

Từ hai phương trình đầu, ta có: t = \({2 \over 7}\); t' = \({{15} \over 7}\)

Hai giá trị này không thoả mãn phương trình (3) nên hệ vô nghiệm, suy ra AB và CD không cắt nhau.

Vậy AB và CD là hai đường thẳng chéo nhau hay bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.

b) Ta có \(\overrightarrow {AB} \)= (2; 4; -1), \(\overrightarrow {AC} \) = (3; -1; 2)

Gọi \(\overrightarrow n \) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC)

\(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \) (7; -7; -14)

phương trình mp (ABC): 7(x - 1) - 7(y - 0) -14(z + 1) = 0

7x - 7y -14z - 21 = 0  \( \Leftrightarrow \)  x - y - 2z - 3 = 0.

d(D, (ABC)) =\({{\left| {1.3 - 0 - 2.3 - 3} \right|} \over {\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{( - 2)}^2}} }} = {6 \over {\sqrt 6 }} = \sqrt 6 \)

c) Phương trình tổng quát của mặt cầu:

x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0

Mặt cầu đi qua A(1; 0; -1) ta có:

12 + 02 + (-1)2 + 2A - 2C + D = 0

\( \Leftrightarrow \)2A - 2C + D + 2 = 0                (1)

Tương tự, mặt cầu đi qua B, C, D cho ta các phương trình:

2A + 8B - 2C + D + 18 = 0                                   (2)

4A + 8B + 6C + D + 29 = 0                                  (3)

4A + 4B - 2C + D + 9 = 0                                     (4)

Hệ bốn phương trình (1), (2), (3), (4) cho ta: A = 3; B = 2; C = \({1 \over 2}\); D = 3. Ta được tâm của mặt cầu I\(\left( { - 3; - 2; - {1 \over 2}} \right)\) và bán kính:

R2 = 32 + 22 + \({\left( {{1 \over 2}} \right)^2} - 3 = {{41} \over 4} \Rightarrow R = {{\sqrt {41} } \over 2}\)

Phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D là:

(x - 3)2 + (y - 2)2 + \({\left( {z - {1 \over 2}} \right)^2} = {{41} \over 4}\)

d) Ta có \(\overrightarrow {AB} \)= (2; 4; -1) \( \Rightarrow \)AB2 = 4 + 16 + 1 = 21\( \Rightarrow AB = \sqrt {21} \)

                \(\overrightarrow {AC} \) = (3; -1; 2) \( \Rightarrow \)AC2 = 9 + 1 + 4 = 14\( \Rightarrow AC = \sqrt {14} \)

Xét \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \)= 2.3 + 4.(-1) + (-1).2 = 0\( \Rightarrow \overrightarrow {AB}  \bot \overrightarrow {AC} \)

Tam giác ABC vuông tại đỉnh A, có diện tích:

\({S_{ABC}} = {1 \over 2}AB.AC = {1 \over 2}\sqrt {21} .\sqrt {14} \)

Thể tích tứ diện ABCD:

\({V_{ABCD}} = {1 \over 3}.{S_{ABC}}.DH = {1 \over 3}.{1 \over 2}.\sqrt {21} .\sqrt {14} .\sqrt 6  = 7\) (Đvdt)