Bài 70 trang 141 sgk toán 7 tập 1

Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của BC lấy điểm M, trên tia đối của tia CB lấy điểm N sao cho BM = CN.

Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của BC lấy điểm M, trên tia đối của tia CB lấy điểm N sao cho BM = CN.

a) Chứng minh rằng tam giác AMN là tam giác cân.

b) Kẻ BH ⊥ AM (H AM), kẻ CK ⊥ AN (K. Chứng minh rằng BH = CK.

c) Chứng minh rằng AH = AK.

d) Gọi O là giao điểm của HB và KC. Tam giác OBC là tam giác gì? Vì sao ?

e) Khi \(\widehat {BAC} = {60^0}\)  và BM = CN = BC, hãy tính số đo các góc của tam giác AMN và xác định dạnh của tam giác OBC.

Hướng dẫn làm bài:

a) ∆ABC cân, suy ra  \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{C_1}}\)

 \(\Rightarrow \widehat {ABM} = \widehat {ACN}\)

∆ABM và ∆CAN có:

AB = AC (gt)

\(\widehat {ABM} = \widehat {ACN}\) 

BM = ON (gt)

Suy ra \(\widehat M = \widehat N\)

=>∆AMN là tam giác cân ở A.

b) Hai tam giác vuông ∆BHM và ∆CKN có :

BM = CN (gt)

\(\widehat M = \widehat N\) (CM từ câu a)

Nên ∆BHM  = ∆CHN (cạnh huyền, góc nhọn)

Suy ra BH = CK.

c) Theo câu (a) ta có tam giác AMN cân ở A nên AM = AN (*)

Theo câu b ta có ∆BHM = ∆CKN nên suy ra HM = KN (**).

Do đó AH = AM – HM = AN – KN (theo (*) và (**)) = AK

Vậy AH = AK.

d) ∆BHM = ∆CKN suy ra \(\widehat {{B_2}} = \widehat {{C_2}}\)  

Mà \(\widehat {{B_2}} = \widehat {{B_3}};\widehat {{C_2}} = \widehat {{C_3}}\) (đối đỉnh)

Nên \(\widehat {{B_3}} = \widehat {{C_3}}\) .

Vậy ∆OBC là tam giác cân.

e) Khi \(\widehat {BAC} = {60^0}\) và BM = CN = BC.

+Tam giác cân ABC có \(\widehat {BAC} = {60^0}\) nên là tam giác đều.

Do đó: AB = BC = AC = BM = CN

\(\widehat {ABM} = \widehat {ACN} = {120^0}\) (cùng bù với 60⁰)

∆ABM cân ở B nên \(\widehat M = \widehat {BAM} = {{{{180}^0} - {{120}^0}} \over 2} = {30^0}\) .

Suy ra \(\widehat {ANM} = \widehat {AMN} = {30^0}\) .

Và \(\widehat {MAN} = {180^0} - \left( {\widehat {AMN} + \widehat {ANM}} \right) = {180^0} - {2.30^0} = {120^0}\)

Vậy ∆AMN có \(\widehat M = \widehat N = {30^0};\widehat A = {120^0}.\)

+∆BHM có: \(\widehat M = {30^0}\) nên \(\widehat {{B_2}} = {60^0}\) (hai góc phụ nhau)

Suy ra \(\widehat {{B_3}} = {60^0}\)

Tương tự \(\widehat {{C_3}} = {60^0}\)

Tam giác OBC có \(\widehat {{B_3}} = \widehat {{C_3}} = {60^0}\) nên tam giác OBC là tam giác đều.

(Tam giác cân có một góc bằng 60⁰ nên là tam giác đều).