Đang tải thanh công cụ tìm kiếm ...
Phép Tính Online

Cho tam giác đều ABC, O là trung điểm của BC. Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm di động D và E sao cho góc DOE = 60o.

Cho tam giác đều ABC, O là trung điểm của BC. Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm di động D và E sao cho góc DOE = 60o.

a) Chứng minh tích BD.CE không đổi.

b) Chứng minh ΔBOD ∼ ΔOED. Từ đó suy ra tia DO là tia phân giác của góc BDE.

c) Vẽ đường tròn tâm O tiếp xúc với AB. Chứng minh rằng đường tròn này luôn tiếp xúc với DE.

Hướng dẫn làm bài:

a) Chứng minh tích BD.CE không đổi.

Xét hai tam giác: ∆BOD và ∆CEO, ta có: \(\widehat B = \widehat C = {60^0}\) (gt) (1)

Ta có \(\widehat {DOC}\) là góc ngoài của ∆ BDO nên: \(\widehat {DOC} = \widehat B + {\widehat D_1}\)

hay \(\widehat {{O_1}} + \widehat {{O_2}} = \widehat B + \widehat {{D_1}} \Leftrightarrow {60^0} + \widehat {{O_2}} = {60^0} + \widehat {{D_1}} \Leftrightarrow \widehat {{O_2}} = \widehat {{D_1}}(2)\) 

Từ (1) và (2) ⇒ ∆BOD ~ ∆CEO (g.g)

\( \Rightarrow {{B{\rm{D}}} \over {BO}} = {{CO} \over {CE}} \Rightarrow B{\rm{D}}.CE = BO.CO\)

hay \(B{\rm{D}}.CE = {{BC} \over 2}.{{BC} \over 2} = {{B{C^2}} \over 4}\) (không đổi)

Vậy \(B{\rm{D}}.CE = {{B{C^2}} \over 4}\) không đổi

b) Chứng minh ΔBOD ∼ ΔOED

Từ câu (a) ta có: ∆BOD ~ ∆CEO

\( \Rightarrow {{O{\rm{D}}} \over {OE}} = {{B{\rm{D}}} \over {OC}} = {{B{\rm{D}}} \over {OB}}\) (do OC = OB)

Mà \(\widehat B = \widehat {DOE} = {60^0}\) 

Vậy ΔBOD ∼ ΔOED (c.g.c) \(\Rightarrow \widehat {B{\rm{D}}O} = \widehat {O{\rm{D}}E}\)  

hay DO là tia phân giác của góc BDE

c) Vẽ OK ⊥ DE và gọi I là tiếp điểm của (O) với AB, khi đó OI ⊥ AB. Xét hai tam giác vuông: IDO và KDO, ta có:

DO: chung

\(\widehat {{D_1}} = \widehat {{D_2}}\) (chứng minh trên)

Vậy ΔIDO = ΔKDO ⇒ OI = OK

Điều này chứng tỏ rằng OK là bán kính của (O) và OK ⊥ DE nên K là tiếp điểm của DE với (O) hay DE tiếp xúc với đường tròn (O)