Bài 64 trang 92 sgk toán lớp 9 tập 2

Bài 64. Trên đường tròn bán kính

Bài 64. Trên đường tròn bán kính R lần lượt đặt theo cùng một chiều, kể từ điểm A, ba cung AB, BC, CD sao cho sđ cung AB = 60^o, sđ cung BC = 90^o và sđ cung CD = 120^o

a) Tứ giác ABCD là hình gì?

b) Chứng minh hai đường chéo của tứ giác ABCD vuông góc với nhau.

c) Tính độ dài các cạnh của tứ giác ABCD theo R.

Hướng dẫn giải:

\(\widehat {BA{\rm{D}}} = {{{{90}^0} + {{120}^0}} \over 2} = {105^0}\) (góc nội tiếp chắn cung BCD)     (1)

\(\widehat {A{\rm{D}}C} = {{{{60}^0} + {{90}^0}} \over 2} = {75^0}\) ( góc nội tiếp chắn cung ABC)          (2)

Từ (1) và (2) có:

\(\widehat {BA{\rm{D}}} + \widehat {A{\rm{D}}C} = {105^0} + {75^0} = {180^0}\) (3)

\(\widehat {BA{\rm{D}}}\) và \(\widehat {A{\rm{D}}C}\) là hai góc trong cùng phía tạo bởi cát tuyến AD và hai đường thẳng AB, CD.

Đẳng thức (3) chứng tỏ AB // CD. Do đó tứ giác ABCD là hình thang, mà hình thang nội tiếp là hình thang cân. 

Vậy ABCD là hình thang cân (BC = AD và sđ cung BC = AD =  90^o )

b) Giả sử hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại I.

\(\widehat {CI{\rm{D}}}\) là góc có đỉnh nằm trong đường tròn, nên:

\(\widehat {CI{\rm{D}}} = {{s{\rm{đ}}cung{\rm{A}}B + s{\rm{đ}}cungC{\rm{D}}} \over 2} = {{{{60}^0} + {{120}^0}} \over 2} = {90^0}\)

Vậy AC  ⊥ BD

c)

Vì sđ cung AB = 60^o nên \(\widehat {AIB} = {60^0}\) => ∆AIB đều, nên AB = R

Vì sđ cung BC = 90^o nên BC = R√2

         AD = BC = R√2

nên sđ cung CD= 120^o nên CD = R√3