Bài 6 - Trang 68 - SGK Hình học 12

6. Lập phương trình mặt cầu trong hai trường hợp sau.

6. Lập phương trình mặt cầu trong hai trường hợp sau đây:

a) Có đường kính AB với A(4 ; -3 ; 7),  B(2 ; 1 ; 3)

b) Đi qua điểm A = (5; -2; 1) và có tâm C(3; -3; 1)

Hướng dẫn giải:

a) Gọi I là trung điểm của AB, thì mặt cầu có đường kính  AB, có tâm I và bán kính 

\(r =\frac{1}{2}AB=IA\).

Ta có : I (3; -1; 5) và r² = IA² = 9.

Do vậy phương trình mặt cầu đường kính AB có dạng:

        (x - 3)² + (y +1)² + (z – 5)² = 9.         

Nhận xét: Ta có thể làm cách khác như sau:

Mặt cầu đường kính AB là tập (S) các điểm M trong không gian nhìn AB dưới một góc vuông.

Giả sử M(x; y; z), khi đó M ∈ (S)  ⇔ \(\overrightarrow{AM}\perp \overrightarrow{BM}\) ⇔ \(\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM}\) =0.        (1)

Ta có  \(\overrightarrow{AM}\) = (x - 4; y + 3; z - 7), \(\overrightarrow{BM}\) = (x - 2; y - 1; z - 3)

(1) ⇔ (x – 4)(x – 2) + (y + 3)(y – 1) + (z – 7) (z - 3)

     ⇔ x² + y² + z² – 6x + 2y – 10z +26 =0

     ⇔ (x - 3)² + (y­ + 1)² + (z – 5)² =9.

Đây là phương trình mặt cầu cần tìm.

b) Mặt cầu cần tìm có tâm C(3; -3; 1) và có bán kính r = CA = \(\sqrt{4+1+0}=\sqrt{5}\)

Do đó phương trình mặt cầu có dạng:

          (x - 3)² + (y­ + 3)² + (z – 1)² = 5.