Đang tải thanh công cụ tìm kiếm ...
Phép Tính Online

Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh AB bằng a.

Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh AB bằng a. Các cạnh bên SA, SB, SC tạo với đáy một góc 600. Gọi D là giao điểm của SA với mặt phẳng qua BC và vuông góc với SA.

a) Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.DBC và S.ABC.

b) Tính thể tích của khối chóp S.DBC.

Giải

a) Vì hình chóp S.ABC là hình chóp đều nên chân đường cao H là tâm của đường tròn ngoại tiếp đáy, theo giả thiết, ta có: góc SAH = 600. Gọi M là trung điểm của cạnh BC thì AM là đường cao của tam giác đều ABC:

\(AM = {{a\sqrt 3 } \over 2}\)

\(AH = {2 \over 3}.AM = {{2a\sqrt 3 } \over 3}\)

Từ đây, ta có:\(SA = {{AH} \over {c{\rm{os}}{{60}^0}}}\) = \({{2a\sqrt 3 } \over 3}\)

AD = AM.cos 600 = \({{a\sqrt 3 } \over 4}\)

\(\Rightarrow SD = SA - AD = {{5a\sqrt 3 } \over {12}}\)

Áp dụng công thức tỉ số thể tích trong bài tập 4, 3 (trang 37 SGK) ta được:

\({{{V_{S.DBC}}} \over {{V_{S.ABC}}}} = {{SD} \over {SA}}.{{SB} \over {SB}}.{{SC} \over {SC}} = {{5a\sqrt 3 } \over {12}}:{{2a\sqrt 3 } \over 3} = {5 \over 8}\)

 b) Ta có: SABC = \({{{a^2}\sqrt 3 } \over 4}\);    SH = AH.tan600 = a

\( \Rightarrow {V_{S.ABC}} = {1 \over 3}.SH.{S_{ABC}}\)          \( \Rightarrow {V_{S.ABC}} = {{{a^3}\sqrt 3 } \over {12}}\)

Từ kết quả câu a) ta có:

\({V_{S.DBC}} = {5 \over 8}.{V_{S.ABC}}\)          \( \Rightarrow {V_{S.BDC}} = {5 \over 8}.{{{a^3}\sqrt 3 } \over {12}}\)

                                                 \( \Rightarrow {V_{S.DBC}} = {{5{a^3}\sqrt 3 } \over {96}}\)