Đang tải thanh công cụ tìm kiếm ...

6. Chứng minh rằng các hàm số sau

6. Chứng minh rằng các hàm số sau có đạo hàm không phụ thuộc x:

a) sin6x + cos6x + 3sin2x.cos2x;

b) cos2\( \left ( \frac{\pi }{3}-x \right )\) + cos2\( \left ( \frac{\pi }{3}+x \right )\) +  cos2\( \left ( \frac{2\pi }{3}-x \right )\) + cos2 \( \left ( \frac{2\pi }{3}+x \right )\) -2sin2x.

Lời giải:

a) Cách 1: Ta có:

y' = 6sin5x.cosx - 6cos5x.sinx + 6sinx.cos3x - 6sin3x.cosx =  6sin3x.cosx(sin2x - 1) + 6sinx.cos3x(1 - cos2x) = - 6sin3x.cos3x + 6sin3x.cos3x = 0.

Vậy y' = 0 với mọi x, tức là y' không phụ thuộc vào x.

    Cách 2: 

y =  sin6x + cos6x + 3sin2x.cos2x(sin2x + cos2x) =  sin6x + 3sin4x.cos2x + 3sin2x.cos4x + cos6x = (sin2x + cos2x)3 = 1

Do đó, y' = 0.

b) Cách 1:

Áp dụng công thức tính đạo hàm của hàm số hợp

(cos2u)' = 2cosu(-sinu).u' = -u'.sin2u

Ta được

y' =[sin\( \left ( \frac{2\pi }{3}-2x \right )\) - sin\( \left ( \frac{2\pi }{3}+2x \right )\)] + [sin\( \left ( \frac{4\pi }{3}-2x \right )\) - sin\( \left ( \frac{4\pi }{3}+2x \right )\)] - 2sin2x = 2cos\( \frac{2\pi }{3}\).sin(-2x) + 2cos\( \frac{4\pi }{3}\).sin(-2x) - 2sin2x = sin2x + sin2x - 2sin2x = 0,

vì cos\( \frac{2\pi }{3}\) = cos\( \frac{4\pi }{3}\) = \( -\frac{1}{2}\).

Vậy y' = 0 với mọi x, do đó y' không phụ thuộc vào x.

   Cách 2: vì côsin của hai cung bù nhau thì đối nhau cho nên

 cos2\( \left ( \frac{\pi }{3}-x \right )\) = cos2\( \left ( \frac{2\pi }{3}-x \right )\)  '

cos2\( \left ( \frac{\pi }{3}+x \right )\) =  cos2 \( \left ( \frac{2\pi }{3}+x \right )\).

Do đó

 y = 2 cos2\( \left ( \frac{\pi }{3}-x \right )\) + 2cos2\( \left ( \frac{\pi }{3}+x \right )\) - 2sin2x = 1 +cos\( \left ( \frac{2\pi }{3}-2x \right )\) + 1 +cos\( \left ( \frac{2\pi }{3}+2x \right )\) - (1 - cos2x) =  1 +cos\( \left ( \frac{2\pi }{3}-2x \right )\) + cos\( \left ( \frac{2\pi }{3}+2x \right )\) + cos2x = 1 + 2cos\( \frac{2\pi }{3}\).cos(-2x) + cos2x = 1 + 2\( \left ( \frac{-1}{2} \right )\)cos2x  + cos2x = 1.

Do đó y' = 0.