Đang tải thanh công cụ tìm kiếm ...
Phép Tính Online

6. Chứng minh rằng các hàm số sau

6. Chứng minh rằng các hàm số sau có đạo hàm không phụ thuộc x:

a) sin6x + cos6x + 3sin2x.cos2x;

b) cos2\( \left ( \frac{\pi }{3}-x \right )\) + cos2\( \left ( \frac{\pi }{3}+x \right )\) +  cos2\( \left ( \frac{2\pi }{3}-x \right )\) + cos2 \( \left ( \frac{2\pi }{3}+x \right )\) -2sin2x.

Lời giải:

a) Cách 1: Ta có:

y' = 6sin5x.cosx - 6cos5x.sinx + 6sinx.cos3x - 6sin3x.cosx =  6sin3x.cosx(sin2x - 1) + 6sinx.cos3x(1 - cos2x) = - 6sin3x.cos3x + 6sin3x.cos3x = 0.

Vậy y' = 0 với mọi x, tức là y' không phụ thuộc vào x.

    Cách 2: 

y =  sin6x + cos6x + 3sin2x.cos2x(sin2x + cos2x) =  sin6x + 3sin4x.cos2x + 3sin2x.cos4x + cos6x = (sin2x + cos2x)3 = 1

Do đó, y' = 0.

b) Cách 1:

Áp dụng công thức tính đạo hàm của hàm số hợp

(cos2u)' = 2cosu(-sinu).u' = -u'.sin2u

Ta được

y' =[sin\( \left ( \frac{2\pi }{3}-2x \right )\) - sin\( \left ( \frac{2\pi }{3}+2x \right )\)] + [sin\( \left ( \frac{4\pi }{3}-2x \right )\) - sin\( \left ( \frac{4\pi }{3}+2x \right )\)] - 2sin2x = 2cos\( \frac{2\pi }{3}\).sin(-2x) + 2cos\( \frac{4\pi }{3}\).sin(-2x) - 2sin2x = sin2x + sin2x - 2sin2x = 0,

vì cos\( \frac{2\pi }{3}\) = cos\( \frac{4\pi }{3}\) = \( -\frac{1}{2}\).

Vậy y' = 0 với mọi x, do đó y' không phụ thuộc vào x.

   Cách 2: vì côsin của hai cung bù nhau thì đối nhau cho nên

 cos2\( \left ( \frac{\pi }{3}-x \right )\) = cos2\( \left ( \frac{2\pi }{3}-x \right )\)  '

cos2\( \left ( \frac{\pi }{3}+x \right )\) =  cos2 \( \left ( \frac{2\pi }{3}+x \right )\).

Do đó

 y = 2 cos2\( \left ( \frac{\pi }{3}-x \right )\) + 2cos2\( \left ( \frac{\pi }{3}+x \right )\) - 2sin2x = 1 +cos\( \left ( \frac{2\pi }{3}-2x \right )\) + 1 +cos\( \left ( \frac{2\pi }{3}+2x \right )\) - (1 - cos2x) =  1 +cos\( \left ( \frac{2\pi }{3}-2x \right )\) + cos\( \left ( \frac{2\pi }{3}+2x \right )\) + cos2x = 1 + 2cos\( \frac{2\pi }{3}\).cos(-2x) + cos2x = 1 + 2\( \left ( \frac{-1}{2} \right )\)cos2x  + cos2x = 1.

Do đó y' = 0.