Bài 5 trang 99 SGK Hình học 12

Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết rằng AC = AD = 4 cm, AB = 3 cm, BC = 5 cm. a) Tính thể tích tứ diện ABCD.

Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết rằng AC = AD = 4 cm, AB = 3 cm, BC = 5 cm.

a) Tính thể tích tứ diện ABCD.

b) Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (BCD).

Giải

Chọn hệ toạ độ gốc là điểm A, các đường thẳng AB, AC, AD theo thứ tự là các trục Ox, Oy, Oz.

Ta có: A(0; 0; 0), B(3; 0; 0)

           C(0; 4; 0), D(0; 0; 4)

Ta có: \(\overrightarrow {AB} \) = (3; 0; 0) \( \Rightarrow \)AB = 3

           \(\overrightarrow {AC} \) = (0; 4; 0) \( \Rightarrow \)AC = 4

           \(\overrightarrow {AD} \) = (0; 0; 4) \( \Rightarrow \)AD = 4

V_ABCD = \({1 \over 6}\)AB.AC.AD = 8 (cm³)

b) Áp dụng công thức phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn, ta có phương trình mặt phẳng (BDC) là:

\({x \over 3} + {y \over 4} + {z \over 4} = 1 \Leftrightarrow 4x + 3y + 3z - 12 = 0\)

Từ đây ta có: d(A, (BDC)) =\({{\left| {12} \right|} \over {\sqrt {{3^2} + {4^2} + {4^2}} }} = {{12} \over {\sqrt {34} }}\)