Đang tải thanh công cụ tìm kiếm ...
Phép Tính Online

Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi H là hình chiếu vuông góc của đỉnh A xuống mặt phẳng (BCD).

Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi H là hình chiếu vuông góc của đỉnh A xuống mặt phẳng (BCD).

a) Chứng minh H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Tính độ dài đoạn AH.

b) Tính diện tích xung quanh và thể tích của khối trụ có đường tròn đáy ngoại tiếp tam giác BCD và chiều cao AH.

Giải

a) Ta biết rằng tứ diện đều là tứ diện có 6 cạnh đều bằng nhau.

Vì AB = AC = AD và AH ⊥ (BCD) nên có HB = HC = HD.

Vậy H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều BCD.

Ta có BH = \({2 \over 3}BI = {{a\sqrt 3 } \over 3}\);

Do tam giác ABD vuông tại H nên : AH2 = AB2 - BH2 = \({a^2} - {{{a^2}} \over 3} = {2 \over 3}{a^2}\) .

Vậy AH = \({{\sqrt 6 } \over 3}a\)

b) Vì tam giác BCD đều cạnh a, nên bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là R = BH = \({{a\sqrt 3 } \over 3}\) . Vì vậy diện tích xung quanh của hình trụ là:

\(S = 2\pi Rh = 2\pi {{a\sqrt 3 } \over 3}.{{\sqrt 6 } \over 3}a = {{2\sqrt 2 } \over 3}\pi {a^2}\) (đtdt).

Thể tích khối trụ là: \(V = \pi {R^2}h = \pi {{{a^2}} \over 3}.{{\sqrt 6 } \over 3}a = {{\sqrt 6 } \over 9}\pi {a^3}\) (đtdt)