Bài 5 trang 10 sách sgk giải tích 12

Chứng minh các bất đẳng thức sau:

Bài 5. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a)      tanx > x (0 < x < \(\frac{\pi }{2}\));                               b) tanx > x + \(\frac{x^{3}}{3}\) (0 < x < \(\frac{\pi }{2}\)).

Hướng dẫn giải:

a) Xét hàm số y = f(x) = tanx – x với x ∈ [0 ; \(\frac{\pi }{2}\)).

         Ta có : y’ = \(\frac{1}{cos^{2}x}\) - 1 ≥ 0, x ∈ [0 ; \(\frac{\pi }{2}\)); y’ = 0 ⇔ x = 0. Vậy hàm số luôn đồng biến trên [0 ; \(\frac{\pi }{2}\)).

         Từ đó ∀x ∈ (0 ; \(\frac{\pi }{2}\)) thì f(x) > f(0) ⇔ tanx – x > tan0 – 0 = 0 hay tanx > x.

         b) Xét hàm số y = g(x) = tanx – x - \(\frac{x^{3}}{3}\). với x ∈ [0 ; \(\frac{\pi }{2}\)).

         Ta có : y’ = \(\frac{1}{cos^{2}x}\) - 1 - x² = 1 + tan²x - 1 - x² = tan²x - x²

                                       = (tanx - x)(tanx + x),  ∀x ∈ [0 ;\(\frac{\pi }{2}\) ).

         Vì ∀x ∈ [0 ; \(\frac{\pi }{2}\)) nên tanx + x ≥ 0 và tanx - x >0 (theo câu a).

         Do đó y' ≥ 0, ∀x ∈ [0 ; \(\frac{\pi }{2}\)).

         Dễ thấy y' = 0 ⇔ x = 0. Vậy hàm số luôn đồng biến trên [0 ; \(\frac{\pi }{2}\)). Từ đó : ∀x ∈ [0 ; \(\frac{\pi }{2}\)) thì g(x) > g(0) ⇔ tanx – x - \(\frac{x^{3}}{3}\) > tan0 - 0 - 0 = 0 hay  tanx > x + \(\frac{x^{3}}{3}\).