Đang tải thanh công cụ tìm kiếm ...
Phép Tính Online

Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A, BC là tiếp tuyến chung ngoài. B ∈ (O), C ∈ (O’). Tiếp tuyến chung trong tại A cắt BC ở điểm M. Gọi E là giao điểm của OM và AB, F là giao điểm của O’M và AC. Chứng minh rằng

Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A, BC là tiếp tuyến chung ngoài. B ∈ (O), C ∈ (O’). Tiếp tuyến chung trong tại A cắt BC ở điểm M. Gọi E là giao điểm của OM và AB, F là giao điểm của O’M và AC. Chứng minh rằng

a) Tứ giác AEMF là hình chữ nhật.

b) ME.MO = MF.MO’

c) OO’ là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là BC.

d) BC là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là OO’.

Hướng dẫn làm bài:

a) MA, MB là các tiếp tuyến của đường tròn (O) (gt).

Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có MA = MB, MO là tia phân giác góc AMB.

∆MAB cân tại M (MA = MB)

Có MO là đường phân giác nên đồng thời là đường cao

\(\Rightarrow MO \bot AB \Rightarrow \widehat {ME{\rm{A}}} = {90^0}\)

Chứng minh tương tự có MO’ là tia phân giác góc AMC và góc MFA = 90°

MO, MO’ là tia phân giác của hai góc kẻ bù \(\widehat {AMB},\widehat {AMC} \Rightarrow \widehat {EMF} = {90^0}\) 

Tứ giác AEMF là hình chữ nhật (vì \(\widehat {EMF} = \widehat {MEA} = \widehat {MFA} = {90^0}\)  

b) ∆MAO vuông tại A có AE là đường cao nên ME. MO = MA2

Tương tự, ta có: MF. MO’ = MA2

Do ddos, ME. MO = MF. MO’ (= MA2)

c) Ta có MA = MB = MC nên M là tâm đường tròn đường kính BC có bán kính là MA. Mà OO’ ⊥ MA tại A.

Do đó OO’ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC

d) Gọi K là trung điểm OO’, ta có K là tâm đường tròn có đướng kính là OO’, bán kính KM (∆MOO’ vuông tại M)

Ta có OB ⊥ BC, O’C ⊥ BC ⇒ OB // OC.

Tứ giác OBCO’ là hình thang có K, M lần lượt là trung điểm các cạnh cạnh bên OO’, BC.

Do đó KM là đường trung bình của hình thang OBCO’ ⇒ KM // OB

Mà OB ⊥ BC nên KM ⊥ BC

Ta có BC ⊥ KM tại M nên BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính OO’