Bài 40 trang 57 sgk toán 9 tập 2

Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ

40. Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ:

a) 3(x² + x)² – 2(x² + x) – 1 = 0;             b) (x² – 4x + 2)² + x² – 4x – 4 = 0;

c) x - √x = 5√x + 7;                              d) \(\frac{x}{x+ 1}\) – 10 . \(\frac{x+1}{x}\) = 3

Hướng dẫn: a) Đặt t = x² + x, ta có phương trình 3t² – 2t  - 1 = 0. Giải phương trình này, ta tìm được hai giá trị của t. Thay mỗi giá trị của t vừa tìm được vào đằng thức t = x² + x, ta được một phương trình của ẩn x. Giải mỗi phương trình này sẽ tìm được giá trị của x.

d) Đặt \(\frac{x+1}{x}\) = t hoặc \(\frac{x}{x+ 1}\) = t

Bài giải:

a) 3(x² + x)² – 2(x² + x) – 1 = 0. Đặt t = x² + x, ta có:

3t² – 2t – 1 = 0; t₁ = 1, t₂ = \(-\frac{1}{3}\)

Với t₁ = 1, ta có: x² + x = 1 hay x² + x – 1 = 0, ∆ = 4 + 1 = 5, √∆ = √5

x₁ = \(\frac{-1+ \sqrt{5}}{2}\), x₂ = \(\frac{-1- \sqrt{5}}{2}\)

Với t₂ = \(-\frac{1}{3}\), ta có: x² + x = \(-\frac{1}{3}\) hay 3x² + 3x + 1 = 0:

Phương trình vô nghiệm, vì ∆ = 9 – 4 . 3 . 1 = -3 < 0

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x₁ = \(\frac{-1+ \sqrt{5}}{2}\), x₂ = \(\frac{-1- \sqrt{5}}{2}\)

b)    (x² – 4x + 2)² + x² – 4x – 4 = 0

Đặt t = x² – 4x + 2, ta có phương trình t² + t – 6 = 0

Giải ra ta được t₁ = 2, t₂ = -3.

- Với t₁ = 2 ta có: x² – 4x + 2 = 2 hay x² – 4x = 0. Suy ra x₁ = 0, x₂ = 4.

- Với t₁ = -3, ta có: x² – 4x + 2 = -3 hay x² – 4x + 5 = 0.

Phương trình này vô nghiệm vì ∆ = (-4)² – 4 . 1 . 5 = 16 – 20 = -4 < 0

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x₁ = 0, x₂ = 4.

c) x - √x = 5√x + 7 ⇔ x - 6√x – 7 = 0. Điều kiện: x ≥ 0. Đặt t = √x, t ≥ 0

Ta có: t² – 6t – 7 = 0. Suy ra: t₁ = -1 (loại), t₂ = 7

Với t = 7, ta có: √x = 7. Suy ra x = 49.

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm: x = 49

d) \(\frac{x}{x+ 1}\) – 10 . \(\frac{x+1}{x}\) = 3. Điều kiện: x ≠ -1, x ≠ 0

Đặt \(\frac{x}{x+ 1}\) = t, ta có: \(\frac{x+1}{x}\) = \(\frac{1}{t}\). Vậy ta có phương trình: t - \(\frac{10}{t}\) – 3 = 0

hay: t² – 3t – 10 = 0. Suy ra t₁ = 5, t₂ = -2.

- Với t₁ = 5, ta có \(\frac{x}{x+ 1}\) = 5 hay x = 5x + 5. Suy ra x = \(-\frac{5}{4}\)

-  Với t₂ = -2, ta có \(\frac{x}{x+ 1}\) = -2 hay x = -2x – 2. Suy ra x = \(-\frac{2}{3}\).

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x₁ = \(-\frac{5}{4}\), x₂ = \(-\frac{2}{3}\)