Bài 4 trang 92 sgk toán 11

Bài 4. Xét tính tăng, giảm của các dãy số biết:

Bài 4. Xét tính tăng, giảm của các dãy số u_n biết:  

a) u_n = \( \frac{1}{n}\) - 2;                        b) u_n = \( \frac{n-1}{n+1}\);

c) u_n =   (-1)ⁿ(2ⁿ + 1)      d) u_n = \( \frac{2n+1}{5n+2}\).

Hướng dẫn giải:

a) Xét hiệu u_n+1 - u_n = \( \frac{1}{n+1}\) - 2 - (\( \frac{1}{n}\) - 2) = \( \frac{1}{n+1}\) - \( \frac{1}{n}\).

Vì \( \frac{1}{n+1}\) < \( \frac{1}{n}\) nên u_n+1 - u_n = \( \frac{1}{n+1}\) - \( \frac{1}{n}\) < 0 với mọi n ε  N^{*  .}

Vậy dãy số đã cho là dãy số giảm.

b) Xét hiệu u_n+1 - u_n = \( \frac{n+1-1}{n+1+1}-\frac{n-1}{n+1}=\frac{n}{n+2}-\frac{n-1}{n+1}\)

                                  = \( \frac{n^{2}+n- n^{2}-n+2}{(n+1)(n+2)}=\frac{2}{(n+1)(n+2)}>0\)

Vậy u_n+1 > u_n với mọi n ε N^* hay dãy số đã cho là dãy số tăng.

c) Các số hạng ban đầu vì có thừa số (-1)ⁿ, nên dãy số dãy số không tăng và cũng không giảm.

d) Làm tương tự như câu a) và b) hoặc lập tỉ số \( \frac{u_{n+1}}{u_{n}}\) (vì u_n > 0  với mọi n ε N^* ) rồi so sánh với 1.

Ta có \( \frac{u_{n+1}}{u_{n}}\) \( =\frac{2n+3}{5n+7}.\frac{5+2}{2n+1}=\frac{10n^{2}+19n+6}{10n^{2}+19n+7}<1\) với mọi n ε N^*

Vậy dãy số đã cho là dãy số giảm dần.