Đang tải thanh công cụ tìm kiếm ...
Phép Tính Online

Hình chóp S.ABC có một mặt cầu tiếp xúc với các cạnh SA, SB, SC và tiếp xúc với ba cạnh AB, BC, CA tại trung điểm của mỗi cạnh. Chứng minh rằng hình chóp đó là hình chóp tam giác đều.

Hình chóp S.ABC có một mặt cầu tiếp xúc với các cạnh SA, SB, SC và tiếp xúc với ba cạnh AB, BC, CA tại trung điểm của mỗi cạnh. Chứng minh rằng hình chóp đó là hình chóp tam giác đều.

Giải

Gọi M, N, P theo thứ tự là các tiếp điểm của mặt cầu với các cạnh SA, SB, SC; D, E, F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA, các điểm D, E, F đồng thời cũng là tiếp điểm của mặt cầu với các cạnh AB, BC, CA.

Ta có:      AD = AF \( \Rightarrow \) AB = AC

                 BD = BE\( \Rightarrow \) BC = AB

\( \Rightarrow \) AB = BC = CA

\( \Rightarrow \) △ABC là tam giác đều...                                            (1)

Ta lại có AM = AD; BN = BD = AD

và            SM = SN = SP

           \( \Rightarrow \) SM + AM = SN + NB

           \( \Rightarrow \) SA = SB

Chứng minh tương tự ta có: SA = SB = SC.

Gọi H là chân đường cao của hình chóp kẻ từ đỉnh S, ta có:

△SHA = △SHB =△SHC        \( \Rightarrow \) HA = HB = HC

\( \Rightarrow \) H là tâm của tam giác đều ABC                               (2)

Từ (1) và (2) suy ra hình chóp S.ABC là hình chóp tam giác đều.