Bài 37 trang 126 - Sách giáo khoa toán 9 tập 2

Bài 37. Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R, Ax và By là hai tiếp tuyến với nửa đường tròn tại A và B. Lấy trên tia Ax điểm M rồi vẽ tiếp tuyến MP cắt By tại N.

Bài 37. Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R, Ax và By  là hai tiếp tuyến với  nửa đường tròn tại A và B. Lấy trên tia Ax điểm M rồi vẽ tiếp tuyến MP cắt By tại N.

a) Chứng minh rằng MON  và APB là hai tam giác vuông đồng dạng.

b) Chứng minh rằng AM.BN = R²

c) Tính tỉ số \(\frac{S_{MON}}{S_{APB}}\)khi AM = \(\frac{R}{2}\)

d) Tính thể tích của hình do nửa hình tròn APB quay quanh AB sinh ra.

Giải:

a) Ta có OM, ON lần lượt là tia phân giác cả AOP và BOP 

Mà AOP kể bù BOP nên suy ra OM vuông góc với ON.

Vậy ∆MON vuông tại O.

Lại có ∆APB vuông vì có góc \(\widehat{APB}\) vuông (góc nội tiếp chắn nửa cung tròn)

Tứ giác AOPM nội tiếp đường tròn vì có \(\widehat{MAP}\) + \(\widehat{MPO}\) = 2v.  Nên \(\widehat{PMO}\) = \(\widehat{PAO}\) (cùng chắn cung OP).

Vậy hai tam giác vuông MON à APB đồng dạng vị có cắp góc nhọn bằng nhau.

b)

Tam giác  AM = MP, BN = NP (1) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Tam giác vuông MON có OP là đường cao nên:

MN.PN = OP² (2)

Từ 1 và 2 suy ra AM.BN = OP² = R²

 c) Từ tam giác MON đồng dạng với tam giác APB ta có :

\(\frac{S_{MON}}{S_{APB}}= \frac{MN^2}{AB^2}\)

Khi AM = \(\frac{R}{2}\) thi do AM.BN = R²  suy ra BN = 2R

Do đó MN = MP + PN = AM + BN = \(\frac{R}{2}\) + 2R =  \(\frac{5R}{2}\)

Suy ra MN² = \(\frac{25R}{4}\)

Vậy \(\frac{S_{MON}}{S_{APB}}\) = \(\frac{ 4}{(2R)^2}= \frac{25}{16}\)

d) Nửa hình tròn APB quay quanh bán kính AB = 2R sinh ra một hình cầu có bán kính R.

Vậy V =  \(\frac{4}{3}\)πR³