Đang tải thanh công cụ tìm kiếm ...
Phép Tính Online

Cho mặt cầu (S) tâm O bán kính r. Hình nón có đường tròn đáy (C) và đỉnh I đều thuộc (S) được gọi là hình nón nội tiếp mặt cầu (S). Gọi h là chiều cao của hình nón đó.

Cho mặt cầu (S) tâm O bán kính r. Hình nón có đường tròn đáy (C) và đỉnh I đều thuộc (S) được gọi là hình nón nội tiếp mặt cầu (S). Gọi h là chiều cao của hình nón đó.

a) Tính thể tích của hình nón theo r và h.

b) Xác định h để thể tích của hình nón là lớn nhất.

Giải

a) Cắt hình vẽ bằng một mặt phẳng qua trục hình nón, ta có hình vẽ trên, trong đó AH là bán kính đáy hình nón, SH là chiều cao hình nón SH = h, SS' là đường kính hình cầu SS' = 2r.

Tam giác SAS' vuông tại đỉnh A, và AH là đường cao nên:

AH2 = SH.S'H \( \Rightarrow \) AH2 = h(2r - h)

Vnón = \({1 \over 3}\pi .A{H^2}.SH \Rightarrow \)Vnón = \({1 \over 3}\pi {h^2}(2r - h)\)

b) Ta có:

Vnón max \( \Leftrightarrow \) 2Vnón = \({\pi  \over 3}.{h^2}(4r - 2h)\) lớn nhất.

Ta có h2(4r - 2h) = h.h.(4r - 2h)\( \le {\left( {{{h + h + 4r - 2h} \over 3}} \right)^3} = {\left( {{{4r} \over 3}} \right)^3}\)

Dấu bằng xảy ra thì Vnón lớn nhất.

Khi đó h = 4r - 2h \( \Rightarrow h = {4 \over 3}r\) 

và Vnón max = \({\pi  \over 6}{\left( {{{4r} \over 3}} \right)^3} = {{32} \over {81}}\pi {r^3}\)