Bài 3 trang 141 sgk đại số 11

Cho hàm số

Bài 3. Cho hàm số f(x) = \(\left\{\begin{matrix} 3x + 2; & x<-1\\ x^{2}-1 & x \geq -1 \end{matrix}\right.\)

a) Vẽ đồ thị của hàm số y = f(x). Từ đó nêu nhận xét về tính liên tục của hàm số trên tập xác định của nó.

b) Khẳng định nhận xét trên bằng một chứng minh.

Hướng dẫn giải:

a) Học sinh tự vẽ hình. Đồ thị hàm số y = f(x) là một đường không liền nét mà bị đứt quãng tại x₀ = -1. Vậy hàm số đã cho liên tục trên khoảng (-∞; -1) và (- 1; +∞).

b) +) Nếu x < -1: f(x) = 3x + 2 liên tục trên  (-∞; -1) (vì đây là hàm đa thức).

+) Nếu x> -1: f(x) = x² - 1 liên tục trên (-1; +∞) (vì đây là hàm đa thức).

+) Tại x = -1;

Ta có \(\underset{x\rightarrow -1^{-}}{lim}\) f(x) = \(\underset{x\rightarrow -1^{-}}{lim}\) (3x + 2) = 3(-1) +2 = -1.

\(\underset{x\rightarrow -1^{+}}{lim}\) f(x) = \(\underset{x\rightarrow -1^{+}}{lim}\) (x² - 1) = (-1)² - 1 = 0.

Vì \(\underset{x\rightarrow -1^{-}}{lim}\) f(x) ≠ \(\underset{x\rightarrow -1^{+}}{lim}\) f(x) nên không tồn tại \(\underset{x\rightarrow -1}{lim}\) f(x). Vậy hàm số gián đoạn tại 
x₀ = -1.