Bài 26 trang 115 sgk toán 9 - tập 1

Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm).

Bài 26. Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm).

a) Chứng minh rằng OA vuông góc với BC.

b) Vẽ đường kính CD. Chứng minh rằng BD song song với AO.

c) Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC; biết OB=2cm, OA=4cm.

Hướng dẫn giải:

a) Vì AB, AC là các tiếp tuyến nên AB=AC và \(\widehat{A_{1}}=\widehat{A_{2}}\).

Suy ra \(OA\perp BC\) (tính chất của tam giác cân).

b) Điểm B nằm trên đường tròn đường kính CD nên \(\widehat{CBD}=90^{\circ}\).

Suy ra BD//AO (vì cùng vuông góc với BC).

c) Nối OB thì \(OB\perp AB.\)

Xét tam giác AOB vuông tại B có: \(sinA_{1}=\frac{OA}{OB}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow \widehat{A_{1}}=30^{\circ}\Rightarrow \widehat{BAC}=60^{\circ}.\)

Tam giác ABC cân, có một góc \(60^{\circ}\) nên là tam giác đều.

Ta có \(AB^{2}=OA^{2}-OB^{2}=4^{2}-2^{2}=12\Rightarrow AB=2\sqrt{3.}\)

Vậy \(AB=AC=BC=2\sqrt{3}cm\).

Nhận xét. Qua câu c) ta thấy: Góc tạo bởi hai tiếp tuyến của một đường tròn vẽ từ một điểm cách tâm một khoảng bằng đường kính đúng bằng \(60^{\circ}\).