Đang tải thanh công cụ tìm kiếm ...
Phép Tính Online

Trong hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có đường kính là AB

Trong hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có đường kính là AB biết rằng A( 6 ; 2 ; -5), B(-4 ; 0 ; 7).

a) Tìm toạ độ tâm I và tính bán kính r của mặt cầu (S)

b) Lập phương trình của mặt cầu (S).

c) Lập phương trình của mặt phẳng (α) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm A.

Giải

a) Tâm I của mặt cầu là trung điểm của đoạn thẳng AB:

\(\left\{ \matrix{
{x_1} = {1 \over 2}(6 - 4) \Rightarrow {x_1} = 1 \hfill \cr
{y_1} = {1 \over 2}(2 + 0) \Rightarrow {y_1} = 1 \hfill \cr  
{z_1} = {1 \over 2}(7 - 5) \Rightarrow {z_1} = 1 \hfill \cr} \right.\)

Vậy I(1; 1; 1)                   

Bán kính R = \({{AB} \over 2}\)

AB2 = (-4 - 6)2 + ( 0 - 2)2 + (7 + 5)2 = 248

\( \Rightarrow AB = \sqrt {248}  = 2\sqrt {62} \)

Vậy \(R = {{AB} \over 2} = \sqrt {62} \)

b) Phương trình mặt cầu (S)

(x - 1)2  + (y - 1)2 + (z - 1)2 = 62

\( \Leftrightarrow \) x2  + y2 + z2 - 2x - 2y - 2z - 59 = 0

c) Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại điểm A chính là mặt phẳng qua A và vuông góc với bán kính IA. Ta có:

\(\overrightarrow {IA} \) = (5; 1 ; -6)

Phương trình mặt phẳng cần tìm là:

5(x - 6) + 1(y - 2) - 6(z + 5) = 0

\( \Leftrightarrow \) 5x + y - 6z - 62 = 0