Bài 14 trang 101 SGK Hình học 12

Trong không gian cho ba điểm A, B, C. Xác định điểm G sao cho

Trong không gian cho ba điểm A, B, C.

a) Xác định điểm G sao cho \(\overrightarrow {GA}  + 2\overrightarrow {GB}  - 2\overrightarrow {GC}  = 0.\)

b) Tìm tập hợp các điểm M sao cho MA² + 2MB² - 2MC² = k², với k là hằng số.

Giải

a) Ta có

\(\overrightarrow {GA}  + 2\overrightarrow {GB}  - 2\overrightarrow {GC}  = \overrightarrow {GA}  = 2(\overrightarrow {GB}  - \overrightarrow {GC} ) = \overrightarrow {GA}  + 2\overrightarrow {CB}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow \overrightarrow {AG}  = 2\overrightarrow {CB} \)

Gọi D là điểm mà \(\overrightarrow {CD}  = 2\overrightarrow {CB} \) tức là điểm B là trung điểm của CD thì G là đỉnh thứ tư của hình bình hành ACDG.

b) Gọi G là điểm trong câu a): \(\overrightarrow {GA}  + 2\overrightarrow {GB}  - 2\overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 \).

Ta có: \(M{A^2} = {\overrightarrow {MA} ^2} = {(\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GA} )^2} = M{G^2} + G{A^2} + 2\overrightarrow {MG} .\overrightarrow {GA} \);

\(M{B^2} = {\overrightarrow {MB} ^2} = {(\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GB} )^2} = M{G^2} + G{B^2} + 2\overrightarrow {MG} .\overrightarrow {GB} \);

\(M{C^2} = {\overrightarrow {MC} ^2} = {(\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GC} )^2} = M{G^2} + G{C^2} + 2\overrightarrow {MG} .\overrightarrow {GC} \).

Từ đó MA² + MB² -2 MC² = k²

\( \Leftrightarrow M{G^2} + G{A^2} + 2G{B^2} - 2G{C^2} + 2\overrightarrow {MG} (\overrightarrow {GA}  + 2\overrightarrow {GB}  - 2\overrightarrow {GC} ) = {k^2}\)

\( \Leftrightarrow M{G^2} = {k^2} - (G{A^2} + 2G{B^2} - 2G{C^2})\) vì \(\overrightarrow {GA}  + 2\overrightarrow {GB}  - 2\overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 \).

Do vậy:

Nếu k² - (GA² + 2GB² - 2GC²) = r² > 0 thì tập hợp các điểm M là mặt cầu tâm G bán kính r.

Nếu k² - (GA² + 2GB² - 2GC²) = 0 thì tập hợp M chính là điểm G.

Nếu k² - (GA² + 2GB² - 2GC²) < 0 thì tập hợp các điểm M chính là tập rỗng.