Bài 11 trang 93 SGK Hình học 12

Trong hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆

Trong hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng toạ độ (Oxz) và cắt hai đường thẳng

\(d:\left\{ \matrix{
x = t \hfill \cr
y = - 4 + t \hfill \cr
z = 3 - t \hfill \cr} \right.\)

\(d':\left\{ \matrix{
x = 1 - 2k \hfill \cr
y = - 3 + k \hfill \cr
z = 4 - 5k. \hfill \cr} \right.\)

Giải

Gọi M là điểm thuộc đường thẳng d, toạ độ của M là M( t; -4 + t; 3 - t) M là điểm thuộc đường thẳng d', toạ độ của N là N(1 - 2k; -3 + k; 4 - 5k)

Ta có: \(\overrightarrow {MN} \)= (1 - 2k - t; 1 + k - t; 1 - 5k + 1)

Vì MN ⊥ (Oxz) nên MN ⊥ Ox và MN ⊥ Oz

Ox có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow i \)= (1; 0; 0);

Oz có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow j \) = (0; 0; 1).

MN ⊥ Ox \( \Leftrightarrow \)(1 - 2k - t).1 + (1 + k - t).0 + (1 - 5k + t).0 = 0

                 \( \Leftrightarrow \)1 - 2k - t = 0                                           (1)

MN ⊥ Oz \( \Leftrightarrow \)(1 - 2k - t).0 + (1 + k - t).0 + (1 - 5k + t) = 0  (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ

\(\left\{ \matrix{
1 - 2k - t = 0 \hfill \cr
1 - 5k + t = 0 \hfill \cr} \right.\)

 Hệ này cho ta k = \({2 \over 7}\); t =\({3 \over 7}\)

và được toạ độ của M\(\left( {{3 \over 7}; - {{25} \over 7};{{18} \over 7}} \right)\) , N\(\left( {{3 \over 7}; - {{19} \over 7};{{18} \over 7}} \right)\)

Từ đây ta có \(\overrightarrow {MN} \)= (0; 1; 0) và được phương trình đường thẳng MN là:

\(\left\{ \matrix{
x = {3 \over 7} \hfill \cr
y = - {{25} \over 7} + t \hfill \cr
z = {{18} \over 7} \hfill \cr} \right.\)