Đang tải thanh công cụ tìm kiếm ...
Phép Tính Online

Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C'

Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh đều bằng a.

a) Tính thể tích khối tứ diện A'BB'C.

b) Mặt phẳng đi qua A'B' và trọng tâm tam giác ABC, cắt AC và BC lần lượt tại E và F. Tính thể tích hình chóp C.A'B'FE.

Giải 

a) Ta tính thể tích hình chóp A'.BCB'.

Gọi M là trung điểm của B'C', ta có:

A'M ⊥ B'C'                                (1)

Lăng trụ ABC.A'B'C' là lăng trụ đứng nên:

BB' ⊥ (A'B'C')

\( \Rightarrow \) BB' ⊥ A'M                             (2)

Từ (1) và (2) suy ra A'M ⊥ (BB'C') hay A'M là đường cao của hình chóp A'.BCB'.

Ta có: A'M = \({{a\sqrt 3 } \over 2}\) ;        \({S_{BB'C}} = {1 \over 2}{a^2}\)

\( \Rightarrow {V_{A'BB'C}} = {1 \over 3}.A'M.{S_{BB'C}} \Rightarrow {V_{A'BB'C}} = {{{a^3}\sqrt 3 } \over {12}}\)

b) 

Thể tích hình chóp C.A'B'EF bằng tổng thể tích hai hình chóp:

- V1 là thể tích hình chóp đỉnh B', đáy là tam giác CEF.

- V2 là thể tích hình chóp đỉnh B', đáy là tam giác A'EC.

Do (ABC) // (A'B'C') nên dễ thấy EF // AB. Ta cũng có:

EF = \({2 \over 3}a\)

Hình chóp B'.CEF có chiều cao BB' = a và diện tích đáy là:

\({S_{C{\rm{EF}}}} = {1 \over 2}.{{2a} \over 3}.{2 \over 3}.{{a\sqrt 3 } \over 2} = {{{a^2}\sqrt 3 } \over 9}\)

Từ đây ta có: \({V_1} = {{{a^3}\sqrt 3 } \over {27}}\)

Do \(EC = {2 \over 3}AC\) nên \({S_{A'EC}} = {2 \over 3}a.{1 \over 2}a = {{{a^2}} \over 3}\)

Hình chóp B'.A'EC có chiều cao là B'I (chiều cao của △A'B'C') bằng \({{a\sqrt 3 } \over 2}\) nên V2= \({{{a^3}\sqrt 3 } \over {18}}\)

Vậy thể tích hình chóp C.A'B'FE là: V = V1 + V2 = \({{5{a^3}\sqrt 3 } \over {54}}\)