Bài 1 trang 178 SGK Đại số và giải tích 11

Chứng minh rằng: cos 2(x + k π) = cos 2x với mọi số nguyên k. Từ đó vẽ đồ thị (C) của hàm số y = cos2x.

Cho hàm số y = cos 2x

a) Chứng minh rằng: cos 2(x + k π) = cos 2x với mọi số nguyên k. Từ đó vẽ đồ thị (C) của hàm số y = cos2x.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C)  tại điểm có hoành độ \(x = {\pi  \over 3}\)

c) Tìm tập xác định của hàm số \(z = \sqrt {{{1 - \cos 2x} \over {1 + {{\cos }^2}2x}}} \)

Trả lời:

a) Ta có: cos 2(x + k π) = cos (2x + k2 π) = cos 2x.

_ Từ kết quả trên ta suy ra hàm số y = cos 2x là hàm số tuần hoàn có ch kì là π.

_ Do đó, ta chỉ cần vẽ đồ thị hàm số  y = cos2x trên [0, π] và tịnh tiến nó song song với  trục 0x các đoạn có độ dài là π.

Bảng giá trị đặc biệt

Đồ thị hàm số :

b) Ta có: \({x_0} = {\pi  \over 3} \Rightarrow {y_0} = \cos {{2\pi } \over 3} =  - {1 \over 2}\)

Ta lại có:

\(\eqalign{
& f'(x) = - 2\sin 2x \cr
& \Rightarrow f'({\pi \over 3}) = - 2\sin {{2\pi } \over 3} = - \sqrt 3 \cr} \)

 Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

\(y + {1 \over 2} =  - \sqrt 3 (x - {\pi  \over 3}) \Leftrightarrow y =  - \sqrt 3  + {{\pi \sqrt 3 } \over 3} - {1 \over 2}\) 

c) Ta có:

|cos 2x| ≤ 1 nên 1 – cos 2x ≥ 0 ∀ x ∈ R.

Do đó, tập xác định của hàm số Z là R.